Évaluation de la visibilité du système enseignant dans sa dimension pragmatique Par : Jalila Achouaq Aazim, Aouatif Najoua, Mohamed Bahra, Hafida Bouanani, Noureddine Knouzi

par  Jalila Achouaq Aazim azimjalila@gmail.com Aouatif Najoua aouatif.najoua@gmail.com Mohamed Bahra mohamed.bahra@gmail.com Hafida Bouanani hfdbouanani7@gmail.com  Noureddine Knouzi knouzi20@yahoo.fr

Résumé

Le système enseignant admet une intentionnalité et une finalité. Il affiche une intentionnalité, mais il évolue vers une finalité qui dépend en particulier de la contingence liée à son environnement. La coïncidence de sa finalité et de son intentionnalité n’est pas assurée a priori. Pour renforcer les chances de cette coïncidence, on dote le système d’un mécanisme de régulation. Ce mécanisme doit pouvoir détecter tout indice révélateur de la tendance du système à se diriger vers une fin qui l’écarterait de son intentionnalité et suggérer les moyens de corriger cette tendance. Dans ce travail nous tentons, via l’enseignement de l’« écriture chiffrée des nombres », de montrer qu’il y a tendance, plus ou moins forte, mais toujours non directement perceptible pour la noosphère, des objets d’apprentissage à s’éloigner de l’interprétation idoine des objets d’enseignement visé.

Mots clés

Finalité, intentionnalité, système enseignant, évaluation

Introduction, questions et hypothèse fondamentale de la recherche

Le système enseignant admet une intentionnalité qu’il affiche et une finalité vers laquelle il évolue. La coïncidence de la finalité et de l’intentionnalité du système n’est pas assurée a priori. Pour renforcer les chances de cette coïncidence, on dote le système d’un mécanisme de régulation, lequel doit pouvoir détecter tout indice révélateur de la tendance du système à se diriger vers une fin qui l’écarterait de son intentionnalité et suggérer les moyens de corriger cette tendance. En fait, le système enseignant admet trois dimensions.

• La dimension ontologique (Rastier, 1995), c’est-à-dire ce qu’est le système Nous estimons convenable de réduire cette dimension à l’ensemble des objets d’enseignements tels qu’ils sont consignés dans les programmes et instructions officielles, c’est ce par quoi le système affiche ostensiblement son intentionnalité.
• La dimension praxéologique, c’est-à-dire ce que fait le système. Nous estimons convenable de ramener cette dimension à l’ensemble des objets d’apprentissage qui prennent forme dans les manuels scolaires et dans les monographies qui, tout en étant conçus à l’adresse de l’apprenant, constituent les interprétations, œuvre du système, des objets d’enseignement visés.
• La dimension pragmatique, c’est-à-dire le devenir de ce système, sa finalité. Nous pensons convenable de ramener cette dimension à la tendance, plus ou moins forte, mais toujours non directement perceptible pour la noosphère, des objets d’apprentissage à s’éloigner de l’interprétation idoine des objets d’enseignement visés ou à s’en

Se pose alors la question de la conformité des deux dernières dimensions, la dimension praxéologique et la dimension pragmatique, à la première : cette conformité est assurée si la tendance des objets d’apprentissage à se rapprocher de plus en plus de l’interprétation idoine des objets d’enseignement visés à travers eux est suffisamment forte et fait l’objet d’une régulation correctrice.

Cette question d’ordre général etqui donc constitue le contexte général de cette intervention, se décline en des questions relatives à des objets d’enseignement et des objets d’apprentissage spécifiés. Chacune de ces dernières questions constitue un contexte local. C’est le cas par exemple de l’objet d’enseignement « écriture chiffrée des nombres » et les objets d’apprentissage auxquels cette écriture est traduite. Lequel cas est l’objet d’étude de cette intervention.

Y a-t-il adéquation entre l’objet d’enseignement « écriture chiffrée des nombres » et les objets d’apprentissage censés en être l’interprétation idoine ?

Il faut pour cela développer une conception de cet objet qui emporterait l’adhésion en tant que conception idoine et caractériser à travers elle celle que les pratiques didactiques promeuvent dans le milieu scolaire (Brousseau, 1995). L’hypothèse sous-jacente à cette démarche se présente comme suit :

Bien qu’il doive faire l’objet d’une succession d’extensions avec la succession des niveaux d’enseignement, le domaine de validité de la conception que les pratiques didactiques promeuvent à propos de l’écriture chiffrée des nombres reste figé dans la forme qu’elle a prise au cycle moyen de l’enseignement primaire : élèves du primaire et étudiants de filières à grande teneur mathématique auraient même compétence quant à cette écriture.

Cadre théorique

Mesurabilité de la tendance à la divergence ou à la convergence de l’intentionnalité et de la finalité du système enseignant

Pour que la visibilité du système soit mesurable, il est nécessaire de proposer une conception de l’intentionnalité du système enseignant capable d’emporter l’adhésion ainsi que des règles de conformité des produits de ce système avec cette intentionnalité. Quelle conception avancer quant à l’intentionnalité du système enseignant et quelles règles de conformité cette conception fait subordonner à la convergence entre sa finalité et son intentionnalité ?

L’intentionnalité en question a trait à la mise à disponibilité de l’homme, des outils de description non arbitraires de la réalité. Mais, avec ces outils on ne peut approcher cette réalité que de façon médiate au travers de modèles adéquats. La dimension ludique de ces modèles est essentielle car il s’agit de faire mimer la réalité à ces modèles.

L’intentionnalité du système enseignant est donc la création d’objets ludiques dans lesquels se trouve enfermé le savoir à transmettre de sorte que l’accessibilité à ce savoir se confonde avec l’attractivité du jeu, la maniabilité de ses règles, l’intelligibilité de la stratégie du gain et la disponibilité pour le joueur des outils d’une maîtrise graduelle de mise en œuvre de cette stratégie (Brousseau, 1990). L’accès au savoir archivé dans la bibliothèque universelle passerait donc par la constitution d’une ludothèque universelle.

Nécessité de mise en place d’un mécanisme de régulation du système

La finalité du système enseignant est un émergent du système et faire tendre cette finalité vers l’intentionnalité affichée nécessite de disposer d’un mécanisme de régulation capable de détecter et de corriger tout écart du chemin menant vers  cette intentionnalité. Nous estimons que ce mécanisme est immanent à la nature de ces objets ; il est la somme de leurs contributions individuelles à la régulation du système, voire à son autorégulation. La contribution d’un objet d’apprentissage à la constitution du mécanisme d’autorégulation du système enseignant est d’autant plus grande qu’il s’apparente à un jeu. Dans cette perspective, l’objet d’apprentissage est une stratégie optimale de gain dans un jeu à deux, le système enseigné et le système enseignant (Brousseau, 1998). Les choix de l’élève par lesquels il essaye d’anticiper les décisions du système enseignant sont des connaissances élémentaires, les combinaisons de ces choix sont des connaissances, celle parmi ces combinaisons qui est optimale quant à la maniabilité, la communicabilité et l’universalité de l’anticipation est un savoir (Chevallard, 1991). Ainsi la stratégie optimale de gain dans le jeu en question est un savoir. Pour le système enseigné, l’enjeu des actions qu’il entreprend est de développer un procédé d’anticipation des décisions de l’enseignant qui soit effectif, reproductible et efficient. Pour l’enseignant, l’enjeu est d’amener l’enseigné à développer l’interprétation adéquate du jeu. Ce jeu est une représentation du savoir autour duquel la relation didactique est construite. Mais, ce point de vue reste incomplet tant que la question de l’explicitation pour chaque jeu de la sorte n’est pas élucidée.

Étapes d’évaluation de la dimension pragmatique du système 

La recherche sur l’évaluation de la visibilité de la dimension pragmatique du système enseignant passe alors par 4 étapes :

• La réalisation des transformations en question sur des objets assez anodins en vue de déterminer des instanciations de la question fondamentale de l’enseignement pour lesquelles ces transformations constituent une réponse.
• La réalisation des transformations sur des objets d’apprentissages, institutionnalisés en tant que
• L’étude de l’adéquation des résultats de ces transformations quant à leurs capacités à faire fonctionner le savoir visé, à travers ces objets, par le système
• L’observation et la spécification de la capacité des élèves à voir dans chacune de ces transformations une manifestation du fonctionnement du

Vu le lien entre la logique épistémique et la théorie du jeu, nous la choisissons comme fondement épistémologique de cette évaluation. Cependant, nous nous contenterons de dériver des axiomes (Walliser, 1991) de cette logique les normes sous lesquelles le système enseignant fonctionne.

N1 – norme de clôture déductive : le système enseigné doit connaître toutes les conséquences logiques de sa connaissance.

N2 – norme de vérité : ce que le système enseigné sait doit être vrai.

N3 – norme d’introspection positive : quand il sait, le système enseigné doit le savoir. N4 – norme d’introspection négative : quand il ne sait pas, le système enseigné doit le savoir.

N5 – norme relative à la règle modus ponens : le système enseignant doit savoir toutes les postures du système enseigné que nécessitent les normes N1, N2, N3 et N4.

N6 – norme relative à la règle de généralisation (nécessitation) : le système enseigné doit savoir prendre toute posture déduite par le système enseignant dans le cadre de la norme N5.

Remarquons que ces normes modélisent le système enseigné en tant qu’élève étalon, celui pour l’émergence duquel le système enseignant doit s’employer. La visibilité de la dimension pragmatique de ce système concerne cette émergence et cette dernière se confond avec celle de la coïncidence de l’intentionnalité affichée par le système avec la finalité vers laquelle il s’achemine inexorablement. Ainsi sommes-nous fondés à évaluer le système à l’aune des stipulations du respect par lui des normes qui le fondent à travers une situation pragmatique conçue, par un de nous, à l’adresse des apprenants : cette situation doit révéler la capacité du système à respecter les six normes indiquées ci-dessus.

L’évaluation de la visibilité du système enseignant, dans sa dimension pragmatique, va alors se faire par le négatif : il s’agit d’établir que cette visibilité est trop faible. En effet, cela permettra de montrer que lorsqu’il devient patent que les systèmes, enseigné et enseignant, ne fonctionnent pas selon les normes ci-dessus, alors la finalité vers laquelle le système enseignant court pourrait être différente de l’intentionnalité qu’il affiche. Le système enseigné s’éloignerait alors de l’élève étalon auquel il est censé se rapprocher.

Nous voyons dans le Numérationneur (Bahra, 1995) un des moyens d’analyse et d’évaluation du système d’enseignement sur la conception à promouvoir dans le milieu scolaire à propos de l’écriture chiffrée des nombres.

Les règles de ce Numérationneur permettent d’effectuer des opérations, sur les mots écrits dans l’alphabet constitué de lettres, par exemple p, q, r, t, 1, #, a et

1. La lettre s étant l’axiome, ces règles s’énoncent comme suit :

R1 : Quand, dans un de ces mots, une occurrence de la lettre p (respectivement, q, r, t) est suivie d’une occurrence de la lettre 1 cette occurrence de 1 est remplacée par une occurrence de la lettre q (respectivement, r, t, p).

R2 : Pour initialiser ce processus opératoire, la lettre p estintroduite en remplacement de la séquence s1.

R3 : Quand une occurrence de la lettre t (respectivement, p, q, r) est suivie d’une occurrence de la lettre # elle est remplacée par la séquence a#0 (respectivement, a#1, a#2, a#3).

R4 : Quand une occurrence de la lettre t (respectivement, r, q) est suivie d’une occurrence de la lettre a, elle s’efface.

R5 : Quand une occurrence de la lettre p est suivie d’une occurrence de la lettre a elle est remplacée par la séquence a1.

Les questions à la base du programme sont les suivantes : à l’apparition d’un mot formé d’une séquence des occurrences de la lettre I (uniquement) flanquée à droite par la lettre p et à gauche par la lettre t, quels seront les mots qui suivront ce mot ? Quel est le dernier de ces mots ? Par quelles séquences particulières de lettres se termine ce mot ?

Ces questions ressemblent à des devinettes et placent le système enseigné dans la posture du joueur qui a à les dévoiler. Ce dévoilement exige de faire fonctionner les connaissances en numération. Il devient évident qu’à propos d’un système enseigné réputé être maître de ces connaissances, et qui s’avère incapable de dévoiler ces devinettes, les assertions suivantes prennent pour l’observateur la force de vérités établies :

A1 : Le système enseigné ne connaîtrait pas toutes les conséquences logiques de sa connaissance de la numération.

A2 : Ce que le système enseigné sait de la numération est quand même vrai.

A3 : Le système enseigné sait les réponses aux questions, en ce sens qu’il dispose de savoirs suffisants pour développer ces réponses, mais il ne sait pas qu’il le sait. A4 : Le système enseigné ne sait pas qu’il ne sait pas comment les actualisations de l’écriture chiffrée des nombres, parce qu’elles peuvent s’obtenir par un procédé effectif uniforme, peuvent aussi s’obtenir par un calcul formel déroulable par un encodeur spécifique qui peut être de nature purement scripturale et syntaxique. A5 : le système enseignant ne sait pas toutes les postures du système enseigné tendant à établir la véracité des assertions A1, A2, A3 et A4.

A6 : le système enseigné peut prendre des postures tendant à établir la véracité des assertions A1, A2, A3 et A4 sans le savoir.

Ces assertions constituent la négation respective des six critères mentionnés plus haut. En effet, l’établissement de la véracité de ces assertions à travers une situation-test portant sur le Numérationneur à laquelle nous avons soumis une proportion suffisamment grande d’étudiants (élèves du primaire CE2, CE4, élèves- professeurs licenciés ès mathématiques (bac +5), atteste, comme fait avéré, le fonctionnement des systèmes, enseignant et enseigné, hors des stipulations du respect des normes en question.

Méthodologie de la recherche

Comme cité ci-dessus, nous tentons dans ce travail de développer une conception de l’objet d’enseignement « écriture chiffrée des nombres » qui emporterait l’adhésion en tant que conception idoine et de caractériser à travers elle celle que les pratiques didactiques promeuvent dans le milieu scolaire.

Une fois un exemple de calcul est déroulé, aux élèves et aux étudiants les questions suivantes leur ont été posées.

Considérons comme mot d’entrée, une séquence de n occurrences de la lettre I flanquée à gauche de la séquence #s et à droite d’une occurrence de #. Parmi les mots qui seront produits par l’application successive des règles sur le mot d’entrée, quelle forme prendra le mot composé des seules occurrences des lettres prises dans la liste suivante (des lettres de la liste peuvent ne pas être prises) : a) #, p, q, r et t ? b) #, a, I, 0, 1, 2 et 3 ? c) #, p et I ?

À quel niveau apparaîtra le mot composé des seules occurrences des lettres

#, a, 0, 1, 2 et 3 et quelle signification donner à chacune de ces occurrences suivant sa position dans le mot ?

Comment ce travail d’écriture peut-il se réaliser oralement et manuellement en agissant sur et en désignant des jetons ?

On considère qu’à chaque ligne du texte produit par cet encodeur correspond un seul mot. Un tel texte est alors une concaténation de mots, donc une « phrase ». une de ces phrases peut-elle se terminer par le mot « 235 » ?

Population testée

La population concernée par le test est constituée d’élèves de l’enseignement primaire : une classe de 20 élèves (10 binômes) du cycle élémentaire deuxième année (CE2, 6-7 ans) ; une classe de 24 élèves (12 binômes) du cycle élémentaire quatrième année (CE4, 8-9 ans). Les deux classes, la première et la seconde, sont des classes respectivement d’une école de la ville de Rabat (école Souissi) et d’une école de la ville de Salé (école Al Yakada). La population concerne aussi deux classes de l’enseignement supérieur : une classe de 30 élèves-professeurs (15 binômes), licenciés ès mathématiques (bac +5), de l’École normale supérieure de l’enseignement technique (ENSET) de l’université Hassan II/ Mohammedia, promotion (2010/2011) ; une classe de 50 élèves-professeurs (25 binômes), licenciés ès mathématiques (bac + 5), de l’École normale supérieure (ENS) de l’université Hassan II (Casablanca), promotion (2010/2011).

Déroulement du test

• Pour les deux classes du primaire, l’expérimentation consiste à faire dérouler, via un vidéoprojecteur, les calculs du programme informatique ludique traduisant les règles exposées ci-dessus. Des élèves sont invités à choisir l’entrée du calcul à la suite de quoi tous les élèves sont invités à observer ce qui apparaît sur l’écran. Les calculs observés sont ensuite expliqués en faisant participer les élèves et en usant de la traduction, exposée ci-dessus, dans la langue usuelle de l’application

— Pour les deux classes de l’ENS de Casablanca et de l’ENSET de Mohammedia, l’expérimentation a duré quatre heures pour chaque classe. Comme pour les deux classes du primaire, la première heure est consacrée à faire dérouler, via un vidéoprojecteur, les calculs du programme informatique traduisant les règles exposées ci-dessus. Des élèves-professeurs sont invités à choisir l’entrée du calcul à la suite de quoi tous les élèves-professeurs sont invités à observer ce qui apparaît sur l’écran. À la fin de la première heure les questions ci-dessus sont données telles à ces étudiants, ils ont trois heures pour y répondre par binômes sur une feuille de papier que les expérimentateurs ramasseront à la fin de la quatrième heure.

Objectif spécifique du test

Le système marocain de l’enseignement des mathématiques fonctionne sous l’hypothèse suivante : des questions spécifiques sur l’écriture chiffrée des nombres, donnant lieu à un tableau croisé comme celui découlant des questions et des populations ci-dessus, aboutiraient certainement à l’établissement de l’existence d’une relation entre le taux de réussite et le niveau d’enseignement. Et si les niveaux concernés contiennent, comme c’est le cas ici, et des niveaux inférieurs et des niveaux supérieurs, l’interprétation de la relation confirmera l’élévation du taux avec celle du niveau.

Ainsi, appliqué à un tel tableau, l’hypothèse nulle c² = 0, relatif au test d’indépendance du c², sera certainement rejetée, sous un seuil de signification voisin de 0,05.

Menée auprès des élèves du primaire et des élèves-professeurs à l’université, l’objectif de cette expérience est d’établir cette déduction : il suffit d’un contexte érigeant les règles récursives de l’écriture chiffrée des nombres au rang d’objet d’étude à part entière pour que le rejet de l’hypothèse nulle en question devienne une performance que le système marocain sera incapable d’obtenir.

Résultat de la confrontation de l’hypothèse à la contingence

Les réponses retenues sont presque toutes indéchiffrables sauf pour les questions 1a) et 4). Le flou qui caractérise les réponses aux autres questions nous a amené à décider de n’appliquer le test c² qu’à ces deux questions. Les résultats obtenus sont rassemblés dans le tableau ci-dessous.

Tableau 5 : Tableau croisé des taux de réussite observés et théoriques

	Question 1 a)	Question 4)	Totaux
ENS de Casablanca	0,25 (0,26)	0,30 (0,63)	0,55
ENST de Mohammedia	0,30 (0,68)	0,35 (0,74)	0,65
École de Rabat	0,25 (0,52)	0,25 (0,57)	0,50
École de Salé	0,25 (0,52)	0,25 (0,57)	0,50
Totaux	1,05	1,15	2,20

Nous considérons que l’hypothèse nulle qui propose qu’il n’y a pas de relation entre les variables est rejetée si la valeur de l’échantillon de c² est supérieure à la valeur critique correspondant à un seuil de signification de 0,05. Avec trois degrés de liberté, cette valeur critique est 7,815, or la valeur observée d’échantillon de c² est égale 0,7561. Cette valeur étant trop inférieure à la valeur critique, l’hypothèse nulle ne saurait être rejetée. Les résultats montrent que, devant le test, il n’y a pas de différence significative entre les performances des classes du primaire et celles des classes du supérieur.

Conclusion

Pour conclure, la règle récursive, dans sa version « écriture formelle », sur laquelle repose l’écriture chiffrée des nombres, constitue un « point aveugle » des contrats didactiques successifs que le système marocain d’enseignement des mathématiques noue autour de cette écriture. Or, il existe une conception de la numération aux fondements épistémologiques explicites et où le statut de cette règle, dans cette version, n’est plus relégué à celui d’outil implicite ; il s’y érige au niveau d’objet d’étude à part entière. De plus, le niveau d’enseignement n’a aucune incidence sur les performances des élèves. Ces dernières restent trop en deçà des performances auxquelles on doit raisonnablement s’attendre, à propos d’une notion aussi fondamentale que l’écriture, et de la part d’étudiants censés être armés pour des notions, de loin, beaucoup plus pointues.

Bibliographie

Bahra, M. (1995). Problèmes de didactique de la numération, échecs et succès de la remathématisation. Thèse de doctorat en didactique des mathématiques non publiée, université Bordeaux 1, Bordeaux, France.

Brousseau, G. (1990). Le contrat didactique : le milieu. Recherches en didactique des mathématiques, 9/3, 309-336.

Brousseau, G. (1995). L’enseignant dans la théorie des situations didactiques. Actes de la 8e École d’été de didactique des mathématiques, IREM de Clermont-Ferrand, France.

Brousseau, G. (1998). Théories des situations didactiques. Grenoble : La pensée sauvage.

Chevallard, Y. (1991). La transposition didactique, du savoir savant au savoir enseigné. Grenoble : La pensée sauvage, 2e édition augmentée.

Rastier, F. (1995). Le terme : entre ontologie et linguistique, La banque des mots n° 7.

Walliser, B. (1991). Logique épistémique et théorie des jeux. Revue économique. Volume 42(5), p. 801-832. doi : 10.2307/3501919.

http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/reco_ 0035 -2764 _ 1991 _ num_42_5_409311, page consultée le 10 février 2012.